Όταν εξετάζουμε τα Διαγράμματα Voronoi ή ακόμα και την τριγωνοποίηση του Delaunay δεν είναι άμεσος ο συσχετισμός με τη θεωρία παιγνίων. Τα Διαγράμματα Voronoi, όπως το αποδείξαμε σε προηγούμενες μελέτες εμπεριέχουν εξ αρχής μια δυναμικότητα, λόγω της υπολογιστικής γεωμετρίας και της τοπολογίας, η οποία επιτρέπει, όχι μόνο την τριγωνοποίηση του Delaunay, αλλά μία ολόκληρη διαδικασία τοποστρατηγικής. Η ενσωμάτωση αυτού του πλαισίου στο πεδίο της θεωρίας παιγνίων γίνεται με ένα φυσιολογικό τρόπο.
Θεωρούμε μία κενή περιοχή κι όχι απαραίτητα το επίπεδο. Πάνω σε αυτήν την περιοχή δύο παίκτες παίζουν εναλλάξ, τοποθετώντας σημεία. Μετά από κάθε κίνηση, υπολογίζεται το Διάγραμμα Voronoi του νέου συνόλου. Αν η περιοχή είναι πεπερασμένη, τότε έχει νόημα μετά από μερικούς γύρους να αναρωτηθούμε ποιος από τους παίκτες έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν, αν προσθέσουμε τις κυψέλες Voronoi που ελέγχει. Κατά συνέπεια, αντιλαμβανόμαστε ότι υπάρχει ένα πρόβλημα τακτικής μετά από κάθε κίνηση των παικτών, αλλά κι ένα γενικό πρόβλημα στρατηγικής. Σε αυτήν την συγκεκριμένη κατάσταση είναι δυνατόν ν’ αποδείξουμε ότι, εκτός από την περίπτωση όπου υπάρχει μόνο ένας γύρος, ο δεύτερος παίκτης κερδίζει πάντα, ακόμα κι αν η διαφορά του συνολικού εμβαδού των δύο παικτών μπορεί να γίνει όσο μικρότερο γίνεται, αλλά ποτέ να μηδενιστεί. Αυτά τα στοιχεία: πλαίσιο, πεδίο και πεδίο δράσης μέσω της θεωρίας παιγνίων, μπορούν να εφαρμοστούν και σε πραγματικές περιπτώσεις για να ενταχθούν στην τοποστρατηγική.
Ένα σημαντικό παράδειγμα είναι το Αιγαίο. Η πολυπλοκότητα της ιδιόμορφης δομής μπορεί να εξετασθεί με αυτόν τον τρόπο και να προσφέρει νοητικά σχήματα, τα οποία δεν είναι άμεσα και εμφανίζονται μόνο σε πολεμολογικό πλαίσιο. Σε κάθε περίπτωση, η στατική προσέγγιση του Αιγαίου δεν επαρκεί, για να μας προετοιμάσει και να διαχειριστούμε στρατηγικά μελλοντικές κρίσεις . Ένα επιπλέον πρόβλημα σε σχέση με το Αιγαίο, είναι ότι η δομή είναι δοσμένη, όσον αφορά στη γεωγραφία. Κατά συνέπεια, δεν υπάρχει άμεση εφαρμογή του θεωρήματος, αλλά το σημαντικότερο είναι ότι υπάρχουν θέσεις κλειδιά ακόμα και στο αρχικό πλαίσιο. Αυτό σημαίνει ότι στην περίπτωση του Αιγαίου έχουμε διάφορες κατηγορίες νησιών που εμπλέκονται, για να δημιουργηθεί ένα πλέγμα. Η ανθεκτικότητα αυτού του πλέγματος είναι η ουσία της υπόθεσης. Και τα διαγράμματα Voronoi μέσω της θεωρίας παιγνίων αναδεικνύουν στρατηγικές συμπεριφορές, τις οποίες πρέπει να εξετάσουμε λεπτομερειακά και αποτελεσματικά.
Voronoi diagrams and Game Theory
Translated from the French by Paola Vagioni
When we examine the Voronoi diagrams or even the Delaunay triangulation, the correlation to Game Theory is not direct. The Voronoi diagrams, as we have proved it in previous studies, include from the start a dynamic due to computational geometry and topology, which allows not only the Delaunay triangulation but an entire topostrategic process. The incorporation of this framework in the field of Game Theory is carried out in a natural way. Consider an empty territory and not necessarily the plane. On this territory two players play alternatively by positioning points. After each movement, the Voronoi diagram of the new sum is calculated. If the territory is finite, then it is meaningful after a few rounds to ask ourselves, which of the players has the greater area by adding the Voronoi cells that he controls. Consecutively, we understand that a problem of tactic exists after each player’s movement and also a general problem of strategy. In this particular situation it is feasible to prove that, except from the case where there is only one round, the second player always wins even if the difference of the total areas of the two players can become the smallest possible but never zero. These elements: framework, field and field of action via Game Theory, can be applied also in real situations and be integrated in topostrategy. A significant example is the Aegean Sea. The complexity of this peculiar structure can be examined in this way and offer mental schemata, which are not direct and appear only in a polemological framework. In any case, the static approach of the Aegean Sea is not sufficient for preparing us and for managing strategically future crises. A further problem in relation to the Aegean Sea is that the structure is given as far as the geography is concerned. In consequence, there is no direct application of the theorem but the most important is that there are key positions even on the initial framework. This means that in the case of the Aegean Sea we have several island categories that are involved for creating a grid. The robustness of this grid is the whole essence of the case. And the Voronoi diagrams via Game Theory promote strategic behaviors, which must be examined in detail and effectively.
Όταν εξετάζουμε την περίπτωση του Καστελόριζου σε βασικό επίπεδο, έχουμε την απλοϊκή εντύπωση ότι πρόκειται για μια λεπτομέρεια όσον αφορά το εδαφικό μας. Σε δεύτερο επίπεδο, αντιλαμβανόμαστε ότι η ύπαρξη του Καστελόριζου είναι σημαντική για την ένωση των F.I.R Αθήνας και Λευκωσίας. Σε τρίτο επίπεδο, επινοούμε ότι η θέση του Καστελόριζου είναι σημαντικότατη για τις ΑΟΖ Ελλάδας και Κύπρου. Όλο αυτό το πλαίσιο διαμορφώνεται με την έννοια της μέσης γραμμής. Κι η ίδια είναι η επίπτωση στο μαθηματικό επίπεδο των διαγραμμάτων Voronoi.
Συνήθως, η μέση γραμμή παρουσιάζεται ως ένα στατικό στοιχείο. Με τα διαγράμματα Voronoi, η γεωστρατηγική του χώρου μετατρέπεται σε τοποστρατηγική του χρόνου. Κι οι χάρτες αποκτούν μια δυναμικότητα. Ο εντοπισμός των κυψέλων Voronoi επιλύουν μερικά νοητικά προβλήματα που παράγουν οι ακτές πάνω στη θάλασσα. Διότι η θάλασσα δεν αυτοκαθορίζει τις μέσες γραμμές. Κατά συνέπεια, όταν οι αποστάσεις μεταξύ ακτών και νησιών μεγαλώνουν, ο καθορισμός της μέσης γραμμής μοιάζει αυθαίρετος για τον μη ειδικό. Με τα διαγράμματα Voronoi αποκτούμε μία δυναμική εικόνα των πραγμάτων κι όχι μόνο.
Η εικόνα που δίνουν τα διαγράμματα Voronoi, αποτελεί κι ένδειξη για την στρατηγική του μέλλοντος. Και πολλές κινήσεις, οι οποίες φαίνονται παράδοξες εξ αρχής μετατρέπονται σε παράξενες και τελικά σε κατανοητές. Επιπλέον, τα διαγράμματα Voronoi μέσω της θεωρίας γραφημάτων ενισχύουν τα θεωρητικά στοιχεία της τοποστρατηγικής. Δεν έχουν να αποδείξουν τίποτα, διότι είναι ήδη η απόδειξη. Μια απόδειξη δίχως λόγια, διότι είναι μία εικόνα που μιλά από μόνη της. Με άλλα λόγια, δεν πρόκειται για ένα στοιχείο της γεωγραφίας, αλλά για ένα εργαλείο των μαθηματικών με εφαρμογές στην στρατηγική.
Όσον αφορά στο Καστελόριζο, τα διαγράμματα Voronoi είναι ξεκάθαρο ότι δεν είναι ούτε τακτικό, ούτε επιχειρησιακό, ούτε στρατηγικό το πρόβλημα. Το Καστελόριζο ανήκει στην υψηλή στρατηγική της Ελλάδας και πρέπει να το ενισχύσουμε, όχι για τυπικούς λόγους, όπως πιστεύουν οι περισσότεροι από εμάς, αλλά για έναν ουσιαστικό λόγο, ο οποίος είναι η Αποκλειστική Οικονομική Ζώνη κι η απόδειξη είναι τα διαγράμματα Voronoi. Η εφαρμογή της τοποστρατηγικής στην περιοχή δεν λέει τίποτα άλλο. Είναι θέμα πολιτικής βούλησης να το ακούσουμε.
Castelorizo and Voronoi diagrams
Translated from the Greek by Paola Vagioni
When we examine the case of Castelorizo on a basic level, we are under the simplistic impression that it concerns a detail regarding our territory. On a second level, we realize that the existence of Castelorizo is important for the unification of the FIRs of Athens and Nicosia. On a third level, we conceive that the location of Castelorizo is most significant for the EEZs of Greece and Cyprus. This whole framework is defined with the notion of the middle line. And the latter is the repercussion on the mathematical level of the Voronoi diagrams.
Usually the middle line is presented as a static element. With the Voronoi diagrams, the geostrategy of space is converted into a topostrategy of time and the maps acquire a dynamic aspect. The localization of the Voronoi cells solve some mental problems that the coastlines produce on the sea, since the sea does not self-determine the middle lines. In consequence, when the distances between coastlines and islands grow bigger, the determination of the middle line appears arbitrary to the non-expert. With the Voronoi diagrams we acquire a dynamic picture of things and just that.
The picture that is provided by the Voronoi diagrams constitutes an indication for the strategy of the future. And many movements that initially appear as paradox, are converted into strange and finally into understandable. Moreover, the Voronoi diagrams, via graph theory, reinforce the theoretical elements of topostrategy. They have nothing to prove because they are the proof itself. A proof without words since it is a picture that speaks by itself. In other words, it is not about an element of geography but a mathematical tool with applications on strategy.
Regarding Castelorizo, it is clear that with the Voronoi diagrams, the problem is not tactical, operational, or strategic. Castelorizo belongs to the grand strategy of Greece and we have to reinforce it, not for typical reasons as most of us believe, but for a fundamental reason which is the EEZ , and the proof is the Voronoi diagrams. The application of topostrategy in the area says nothing else. It is a matter of political will hearing it.
Translated from the Greek by Paola Vagioni
When we examine the case of Castelorizo on a basic level, we are under the simplistic impression that it concerns a detail regarding our territory. On a second level, we realize that the existence of Castelorizo is important for the unification of the FIRs of Athens and Nicosia. On a third level, we conceive that the location of Castelorizo is most significant for the EEZs of Greece and Cyprus. This whole framework is defined with the notion of the middle line. And the latter is the repercussion on the mathematical level of the Voronoi diagrams.
Usually the middle line is presented as a static element. With the Voronoi diagrams, the geostrategy of space is converted into a topostrategy of time and the maps acquire a dynamic aspect. The localization of the Voronoi cells solve some mental problems that the coastlines produce on the sea, since the sea does not self-determine the middle lines. In consequence, when the distances between coastlines and islands grow bigger, the determination of the middle line appears arbitrary to the non-expert. With the Voronoi diagrams we acquire a dynamic picture of things and just that.
The picture that is provided by the Voronoi diagrams constitutes an indication for the strategy of the future. And many movements that initially appear as paradox, are converted into strange and finally into understandable. Moreover, the Voronoi diagrams, via graph theory, reinforce the theoretical elements of topostrategy. They have nothing to prove because they are the proof itself. A proof without words since it is a picture that speaks by itself. In other words, it is not about an element of geography but a mathematical tool with applications on strategy.
Regarding Castelorizo, it is clear that with the Voronoi diagrams, the problem is not tactical, operational, or strategic. Castelorizo belongs to the grand strategy of Greece and we have to reinforce it, not for typical reasons as most of us believe, but for a fundamental reason which is the EEZ , and the proof is the Voronoi diagrams. The application of topostrategy in the area says nothing else. It is a matter of political will hearing it.
H ΑΟΖ δεν είναι μια ουτοπία. Η Κύπρος το απέδειξε με τις δημοκρατικές συμφωνίες που έκανε με την Αίγυπτο και το Λίβανο, κράτη τα οποία δεν ανήκουν στην Ευρωπαϊκή Ένωση. Και κατάφερε αυτές τις συμφωνίες, ενώ είναι κράτος που έχει υποστεί εισβολή και ζει ακόμα και τώρα την κατοχή. Δεν πρέπει να ξεχνάμε όμως ότι η επίτευξη του στόχου έγινε μέσω του ευρωπαϊκού πλαισίου, αφού η Κύπρος είχε ενταχθεί το 2004. Η προσέγγιση του προβλήματος της ΑΟΖ είναι παραδειγματική. Αφού υπήρχε σοβαρή εμπλοκή με την Τουρκία, λειτούργησε μέσω των ελιγμών κι όχι των συνδυασμών, για να μην κάνει χρήση της στρατηγικής θυσίας, η οποία θα είχε επιπτώσεις σε πολιτικό πλαίσιο.
Η περίπτωση της Ελλάδας είναι ανάλογη και μάλιστα καλύτερη, διότι δεν υπάρχει στρατιωτική εμπλοκή. Η Ελλάδα ανήκει στην Ευρωπαϊκή Ένωση από το 1981, η Ιταλία από το 1957 κι η Κύπρος, όπως είπαμε από το 2004. Οι τρεις χώρες είναι επίσης στην ευρωζώνη κι εφαρμόζουν τη συνθήκη Schengen. Κατά συνέπεια, τίποτα δεν μπορεί να τις εμποδίζει όσον αφορά στο θέμα της ΑΟΖ, η οποία θα είναι εξ ολοκλήρου στο πλαίσιο της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Όσον αφορά στο Νότιο Μέρος της Ελλάδας, η ΑΟΖ έχει κοινά σημεία με την Λιβύη και την Αίγυπτο, χώρες οι οποίες δεν μας βλέπουν αρνητικά.
Η σημασία αυτών των διακρατικών συμφωνιών εμφανίζεται μέσω της συνεκτικότητας της όλης δομής, όχι μόνο στο ευρωπαϊκό πλαίσιο, αλλά και το μεσογειακό, το οποίο όλο και περισσότερο ενισχύεται. Η τοποστρατηγική μέσω των διαγραμμάτων Voronoi δείχνει στο πεδίο δράσης της υψηλής στρατηγικής στον μεσογειακό χώρο. Κάνοντας μία υπέρβαση όσον αφορά στη συνεκτικότητα, αντιλαμβανόμαστε τη θετικότητα της επαφής μας και με την Μάλτα. Μπορεί, λοιπόν, να μην βλέπουμε την αναγκαιότητα της ΑΟΖ, διότι δεν έχουμε εικόνα, λόγω της θάλασσας, όμως οι δυναμικοί χάρτες υπάρχουν και τα διαγράμματα Voronoi μέσα των μαθηματικών δεν έχουν να συγκρουστούν με κανέναν, για να πείσουν ακόμα και τους ουδέτερους ή τους αδιάφορους.
Το πλαίσιο, το πεδίο και το πεδίο δράσης είναι έτοιμα για διαπραγματεύσεις, όχι όμως για συμβιβασμούς. Διότι οι συμφωνίες περί ΑΟΖ δεν είναι συμβιβασμοί αλλά συνέργιες υψηλού επιπέδου. Πλέον το παίγνιο εξαρτάται από τους παίκτες. Ο Πρόεδρος Παπαδόπουλος με την Κύπρο έδωσε το στίγμα του. Κι η αξία των πολιτικών ηγετών φαίνεται σε αυτό το επίπεδο.
EEZ, European framework and Voronoi diagrams
Translated from the French by Paola Vagioni
The EEZ is not a utopia. Cyprus has proved it with the democratic agreements it made with Egypt and Lebanon, nations that do not belong in the European Union. And it accomplished these agreements while being a nation that has suffered an invasion and is enduring even until now the occupation. We must not forget though that the accomplishment of the aim was made via the European framework, since Cyprus was integrated in 2004. The approach to the EEZ problem is exemplary. Since there was a serious conflict with Turkey, it operated via maneuvers and not combinations, for not making use of the strategic sacrifice, which would have repercussions on the political framework. The case of Greece is equivalent and indeed better, since there is no military conflict. Greece belongs to the European Union since 1981, Italy since 1957 and Cyprus like we said since 2004. The three countries belong also to the eurozone and implement the Schengen Treaty. Consecutively, nothing can impede them regarding the EEZ, which will be entirely in the framework of the European Union. Regarding the South part of Greece, the EEZ has common points with Libya and Egypt, which are countries that do not look upon us negatively. The significance of these interstate agreements appears via the cohesion of the entire structure, not only in the European framework but in the Mediterranean too, which is reinforced all the more so. Topostrategy, via the Voronoi diagrams, indicates the field of action of grand strategy in the Mediterranean space. By making a transgression regarding cohesion, we understand the positivity of our contact with Malta. We may therefore not see the necessity of the EEZ, since we have no picture due to the sea, yet the dynamic maps exist and the Voronoi diagrams via mathematics do not have to be in conflict with anyone for convincing even the neutral or indifferent ones.
Translated from the French by Paola Vagioni
The EEZ is not a utopia. Cyprus has proved it with the democratic agreements it made with Egypt and Lebanon, nations that do not belong in the European Union. And it accomplished these agreements while being a nation that has suffered an invasion and is enduring even until now the occupation. We must not forget though that the accomplishment of the aim was made via the European framework, since Cyprus was integrated in 2004. The approach to the EEZ problem is exemplary. Since there was a serious conflict with Turkey, it operated via maneuvers and not combinations, for not making use of the strategic sacrifice, which would have repercussions on the political framework. The case of Greece is equivalent and indeed better, since there is no military conflict. Greece belongs to the European Union since 1981, Italy since 1957 and Cyprus like we said since 2004. The three countries belong also to the eurozone and implement the Schengen Treaty. Consecutively, nothing can impede them regarding the EEZ, which will be entirely in the framework of the European Union. Regarding the South part of Greece, the EEZ has common points with Libya and Egypt, which are countries that do not look upon us negatively. The significance of these interstate agreements appears via the cohesion of the entire structure, not only in the European framework but in the Mediterranean too, which is reinforced all the more so. Topostrategy, via the Voronoi diagrams, indicates the field of action of grand strategy in the Mediterranean space. By making a transgression regarding cohesion, we understand the positivity of our contact with Malta. We may therefore not see the necessity of the EEZ, since we have no picture due to the sea, yet the dynamic maps exist and the Voronoi diagrams via mathematics do not have to be in conflict with anyone for convincing even the neutral or indifferent ones.
Τα διαγράμματα Voronoi δεν λύνουν μόνο προβλήματα γεωγραφίας και τοπολογίας. Όταν τα επινόησε ο Georgy Voronoy (1868 – 1908), ο οποίος ήταν μαθητής του Andrey Markov (1856 – 1922) αλλά και δάσκαλος των Delaunay (1890 -1980) και Sierpiński (1882 – 1969), δημιούργησε έναν ολόκληρο μαθηματικό πλαίσιο μέσω της υπολογιστικής γεωμετρίας.
Η ιδέα των διαγραμμάτων Voronoi είναι η δημιουργία νέων σημείων που διαφέρουν από τα αρχικά δεδομένα και δεν παρουσιάζονται με απλό τρόπο στον λύτη. Δημιουργούν μία νέα δομή, η οποία είναι αόρατη για τον μη ειδικό που εξετάζει τα αρχικά στοιχεία. Αυτή η έννοια είναι σημαντικότατη στα μαθηματικά κι όχι μόνο. Στο γνωστικό επίπεδο, απελευθερώνει την σκέψη και την βάζει να λειτουργεί μη συμβατικά, για να λύσει ένα πρόβλημα φαινομενικά στατικό. Η συμβολή των διαγραμμάτων Voronoi είναι η εισαγωγή ενός δυναμικού πλαισίου, το οποίο διευκολύνει, όχι μόνο την επίλυση αλλά και την επινόηση νέας στρατηγικής. Επιπλέον τα διαγράμματα Voronoi συσχετίζονται άμεσα με την τριγωνοποίηση που εφηύρε ο Delaunay το 1934. Πιο συγκεκριμένα, τα διαγράμματα Voronoi κι η τριγωνοποίηση Delaunay συνδυάζονται δυικά στην γενική περίπτωση. Το ενδιαφέρον είναι ότι πρακτικά τα διαγράμματα Voronoi δεν σχετίζονται με κύκλους αλλά με ευθύγραμμα τμήματα. Ενώ η τριγωνοποίηση του Delaunay ορίζεται αποκλειστικά μέσω κύκλων. Τα κέντρα των τριγώνων της τριγωνοποίησης, τα οποία δεν εμπεριέχουν κανένα αρχικό σημείο, αν τα ενώσουμε, θα βρούμε το διάγραμμα Voronoi. Γι’ αυτό το λόγο λέμε ότι λειτουργούν δυικά. Αυτό σημαίνει ότι στο πλαίσιο της εφαρμογής των διαγραμμάτων Voronoi, υπάρχει η δυνατότητα να εκμεταλλευτούμε και την τριγωνοποίηση του Delaunay, έτσι ώστε να χρησιμοποιήσουμε και τα τρίγωνα της, τα οποία μπορούν να εμπεριέχουν ή όχι τα διαγράμματα Voronoi.
Από τα διαγράμματα Voronoi στην τριγωνοποίηση του Delaunay υπάρχει ένα νοητικό σχήμα με πολλαπλές εφαρμογές και εκτός του χώρου των καθαρών μαθηματικών κι ειδικά στο χώρο της στρατηγικής μέσω της τοποστρατηγικής. Αυτό το νοητικό σχήμα λειτουργεί ως πολλαπλότητα για την γνωστικά προσέγγιση της νοητικής στρατηγικής.
From the Voronoi diagrams to the Delaunay triangulation
Translated from the Greek by Paola Vagioni
The Voronoi diagrams do not only solve problems in geography and topology. When Georgy Voronoi (1868-1908) invented them, who was a student of Andrey Markov (1856-1922) but also the teacher of Delaunay (1890-1980) and Sierpiński (1882-1969), he created an entire mathematical framework via computational geometry. The idea of the Voronoi diagrams is the creation of new points that differ from the initial facts and are not presented in a simple way to the solver. They create a new structure which is invisible to the non-expert who examines the initial elements. This notion is most important in mathematics and not only there. On the cognitive level, it releases the thought and makes it function non-conventionally for solving a seemingly static problem. The contibution of the Voronoi diagrams is the introduction of a dynamic framework, which facilitates not only the solution but also the invention of a new strategy. Moreover, the Voronoi diagrams are directly related to the triangulation which was invented by Delaunay in 1934. Specifically, the Voronoi diagrams and the Delaunay triangulation are dually combined on a general case. The interesting part is that in practice, the Voronoi diagrams are not related with circles but with line segments. While the Delaunay triangulation is defined exclusively via circles. The centres of the triangles of triangulation which do not include any initial point, if we combine them we will find a Voronoi diagram. For this reason we say that they operate in a dual manner. This means that in the framework of the application of the Voronoi diagrams, there is the possibility to exploit also the Delaunay triangulation in order to use its triangles too, which can include or not the Voronoi diagrams. From the Voronoi diagrams to the Delanay triangulation there is a mental schema with multiple applications also beyond the space of pure mathematics and especially in the space of strategy via topostrategy. This mental schema operates as a manifold for the cognitive approach of mental strategy.
Translated from the Greek by Paola Vagioni
The Voronoi diagrams do not only solve problems in geography and topology. When Georgy Voronoi (1868-1908) invented them, who was a student of Andrey Markov (1856-1922) but also the teacher of Delaunay (1890-1980) and Sierpiński (1882-1969), he created an entire mathematical framework via computational geometry. The idea of the Voronoi diagrams is the creation of new points that differ from the initial facts and are not presented in a simple way to the solver. They create a new structure which is invisible to the non-expert who examines the initial elements. This notion is most important in mathematics and not only there. On the cognitive level, it releases the thought and makes it function non-conventionally for solving a seemingly static problem. The contibution of the Voronoi diagrams is the introduction of a dynamic framework, which facilitates not only the solution but also the invention of a new strategy. Moreover, the Voronoi diagrams are directly related to the triangulation which was invented by Delaunay in 1934. Specifically, the Voronoi diagrams and the Delaunay triangulation are dually combined on a general case. The interesting part is that in practice, the Voronoi diagrams are not related with circles but with line segments. While the Delaunay triangulation is defined exclusively via circles. The centres of the triangles of triangulation which do not include any initial point, if we combine them we will find a Voronoi diagram. For this reason we say that they operate in a dual manner. This means that in the framework of the application of the Voronoi diagrams, there is the possibility to exploit also the Delaunay triangulation in order to use its triangles too, which can include or not the Voronoi diagrams. From the Voronoi diagrams to the Delanay triangulation there is a mental schema with multiple applications also beyond the space of pure mathematics and especially in the space of strategy via topostrategy. This mental schema operates as a manifold for the cognitive approach of mental strategy.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου